Fie că aveți timp să verificați cât de repede vă puteți umple aparatul de cafea sau pur și simplu numărați pașii către stația de autobuz dimineața, există ceva despre monotonia vieții de zi cu zi care ne face să încercăm să o transformăm într-un joc. Locuitorii orașului prusac Konigsberg din secolul al XVIII-lea (acum, după cum știți, acesta este Kaliningrad) erau la fel ca noi toți. Tocmai jocul pe care l-au jucat cu șapte poduri din orașul lor a creat o zi interesul unuia dintre cei mai mari matematicieni din istoria umană.
Konigsberg a fost construit pe malurile râului Pregel (Pregolya), care a împărțit orașul în patru zone rezidențiale separate. Oamenii s-au mutat dintr-o zonă în alta prin șapte poduri diferite. Conform legendei, un pasionat popular în timpul plimbărilor duminicale era să încerce să traverseze întregul oraș, astfel încât să poată traversa fiecare pod o singură dată. Nimeni nu și-a dat seama cum să facă asta, dar acest lucru nu înseamnă că problema nu are soluție. Au trebuit doar să meargă la expertul potrivit pentru a-l cunoaște.
În 1735, primarul orașului Danzig (acum Gdansk polonez), situat la 120 de kilometri vest de Konigsberg, Karl Leonard Gottlieb Ehler, i-a scris lui Leonard Euler o scrisoare în care a cerut ajutor în rezolvarea acestei probleme în numele unui profesor local de matematică pe nume Heinrich Kuehn. Chiar și atunci, Euler a fost un celebru și de mare succes matematician - a publicat prima sa carte în termen de un an după această scrisoare, și în întreaga sa viață a scris mai mult de 500 de cărți și articole.
Prin urmare, nu este surprinzător faptul că, la început, Euler a crezut că este sub demnitatea lui să se ocupe de această problemă și a scris ca răspuns: „Deci, vedeți, stimate domnule, acest tip de soluție nu are practic nicio legătură cu matematica și nu înțeleg de ce aveți de-a face cu o astfel de problemă. o solicitare către un matematician și nu către altcineva, deoarece decizia se bazează numai pe bunul simț și nu depinde de niciunul dintre principiile matematice cunoscute."
În cele din urmă, însă, Ehler și Kühn au reușit să-l convingă pe Euler și și-a dat seama că acesta era un tip complet nou de matematică - „geometria pozițiilor”, cunoscută astăzi drept topologie. În topologie, forma exactă sau locația unui obiect nu contează. Există chiar și o glumă veche că un topolog nu poate spune diferența dintre o gogoașă și o ceașcă de cafea, deoarece ambele obiecte au exact o gaură. Până atunci, această zonă complet nouă de matematică era doar scrisă, dar nimeni nu înțelegea încă ce probleme ar putea rezolva. Cele șapte poduri din Konigsberg au fost o confirmare experimentală excelentă a noii teorii, deoarece problema nu a necesitat măsurători sau calcule precise. Puteți transforma o hartă complexă a orașului într-un grafic (diagramă) simplu și inteligibil, fără a pierde informații importante.
În timp ce cineva ar putea fi tentat să rezolve această problemă prin trasarea tuturor rutelor posibile prin oraș, Euler și-a dat seama imediat că această strategie va dura prea mult și nu va funcționa cu alte probleme similare (ce se întâmplă dacă în alt oraș ar exista, să zicem, douăsprezece poduri?). În schimb, a decis să se distragă temporar de la poduri și a marcat zonele terestre cu literele A, B, C și D. Astfel, el ar putea descrie acum călătoria peste pod din zona A în zona B ca AB și călătoria din zona A prin zona B. D ca ABD. Este important de menționat aici că numărul de scrisori din descrierea traseului va fi întotdeauna unul mai mult decât numărul de poduri traversate. Astfel, ruta AB traversează un pod, iar ruta ABD traversează două poduri și așa mai departe. Euler și-a dat seama că, deoarece există șapte poduri în Konigsberg, pentru a le traversa pe toate,traseul trebuie să fie format din opt litere, ceea ce înseamnă că soluția problemei va necesita exact opt litere.
Apoi a venit cu o regulă mai generală folosind o schemă și mai simplificată. Dacă ai avea doar două secțiuni de teren, A și B și ai traversa podul o singură dată, atunci secțiunea A ar putea fi acolo unde a început călătoria sau unde s-a încheiat, dar ai fi în secțiunea A o singură dată. Dacă ați traversa podurile a, b și c o dată, ați fi pe secțiunea A exact de două ori. Acest lucru a dus la o regulă la îndemână: dacă aveți un număr egal de poduri care duc la o bucată de pământ, trebuie să adăugați unul la acel număr și apoi să împărțiți totalul cu două pentru a afla de câte ori acea secțiune ar trebui să fie utilizată în timpul călătoriei. (în acest exemplu, adăugând unul la numărul de punți, adică la 3, obținem patru și împărțind patru câte două obținem două,adică este exact de două ori pe parcursul parcurgerii secțiunii A).
Video promotional:
Acest rezultat l-a readus pe Euler la problema sa inițială. Există cinci poduri care duc la secțiunea A, așa că soluția de opt litere pe care o caută va trebui să fie traversată de trei ori. Secțiunile B, C și D au două poduri care duc la ele, astfel încât fiecare trebuie să treacă de două ori. Dar 3 + 2 + 2 + 2 este 9, nu 8, deși în funcție de condiție trebuie să parcurgi doar 8 secțiuni și să traversezi 7 poduri. Aceasta înseamnă că este imposibil să parcurgi întregul oraș Königsberg folosind fiecare pod exact o dată. Cu alte cuvinte, în acest caz problema nu are nicio soluție.
Totuși, ca orice matematician adevărat, Euler nu s-a oprit aici. El a continuat să lucreze și a creat o regulă mai generală pentru alte orașe cu un număr diferit de poduri. Dacă orașul are un număr ciudat de poduri, atunci există o modalitate simplă de a afla dacă puteți face o astfel de călătorie sau nu: dacă suma numărului de apariții ale fiecărei litere care denotă o bucată de pământ este una mai mare decât numărul de poduri (cum ar fi, de exemplu, în soluția de opt litere, aproximativ menționat anterior), o astfel de călătorie este posibilă. Dacă suma este mai mare decât acest număr, este imposibil.
Ce zici de un număr egal de poduri? În acest caz, totul depinde de unde să începi. Dacă pornești de la secțiunea A și călătorești pe două poduri, A apare de două ori în soluția ta. Dacă începeți de cealaltă parte, A va apărea o singură dată. Dacă există patru poduri, atunci A apare de trei ori dacă această secțiune a fost punctul de plecare sau de două ori dacă nu. În termeni generali, acest lucru înseamnă că, dacă călătoria nu începe de la secțiunea A, trebuie traversată de două ori mai mult decât numărul de poduri (patru împărțite la două dă două). Dacă călătoria începe de la secțiunea A, trebuie să se intersecteze încă o dată.
Geniul soluției lui Euler nu constă nici în răspuns, ci în metoda pe care a aplicat-o. A fost una dintre cele mai vechi utilizări ale teoriei graficului, cunoscută și sub numele de teoria rețelelor, o zonă foarte căutată a matematicii din lumea de azi plină de rețele de transport, sociale și electronice. În ceea ce privește Konigsberg, orașul a obținut în cele din urmă un alt pod, ceea ce a făcut ca decizia lui Euler să fie controversată, iar apoi forțele britanice au distrus cea mai mare parte a orașului în timpul celui de-al doilea război mondial. Astăzi, atât orașul, cât și râul au nume noi, dar vechea problemă trăiește într-un domeniu complet nou al matematicii.
Igor Abramov
