Am fost un copil descăpățat care a crescut în literatură și a tratat matematica și știința ca și cum ar fi putut prinde ciuma. Prin urmare, este destul de ciudat că, ca rezultat, am devenit o persoană care se ocupă de integrale triple, transformate Fourier și perla matematicii, ecuația Euler în fiecare zi. Este greu de crezut că, dintr-o persoană cu o fobie literalmente înnăscută față de matematică, m-am transformat într-un profesor de inginerie.
Într-o zi, unul dintre studenții mei m-a întrebat cum am făcut-o: cum mi-am schimbat creierul. Am vrut să răspund: "La naiba, a fost extrem de greu!" La urma urmei, nu puteam face matematică și științe în liceu, gimnaziu și liceu. Într-adevăr, am început să iau cursuri de matematică după ce am fost concediat din armată la 26 de ani. Dacă ar exista un exemplu de potențial de flexibilitate în creierul adultului, aș deveni modelul # 1.
Studierea matematicii și științei ca adult mi-a deschis ușa către o lume cu multe posibilități - ingineria. Câștigat greu la maturitate, alterarea creierului meu mi-a dat o privire directă asupra neuroplasticității care stă la baza învățării adulților. Din fericire, pregătirea pentru o disertație de doctorat în ingineria sistemelor, care leagă o imagine imensă a diferitelor discipline STEM (știință, tehnologie, inginerie, matematică), și apoi pentru cercetările și lucrările mele ulterioare, care s-au axat pe structura gândirii umane, m-au ajutat să-l realizez pe acesta din urmă. descoperiri în neuroștiințe și psihologie cognitivă legate de procesul de învățare.
De când mi-am luat doctoratul, mii de studenți au trecut prin mâinile mele, elevii din școala primară și liceul au crezut că talismanul sacru al înțelegerii matematicii este o discuție activă. Se crede că dacă poți explica altora ceea ce ai învățat, de exemplu, desenând o imagine, atunci o înțelegi.
Japonia a devenit un exemplu admirabil și emulat al acestor metode active de învățare a „înțelegerii”. Cu toate acestea, nu se vorbește des despre dezavantajul acestui concept: Japonia a devenit, de asemenea, locul de naștere al metodei Kumon de predare a matematicii, care se bazează pe memorare, repetare, înghesuire și lucru pe modul în care copilul stăpânește materialul. Acest program extracurricular intens (și alții asemănători) a fost primit cu nerăbdare de părinții din Japonia și din întreaga lume care completează educația online a copiilor lor cu mai multă practică, repetare și, da, înghesuire sofisticată pentru a le oferi libertatea de a stăpâni subiectul.
În Statele Unite, accentul pe înțelegere înlocuiește uneori o altă metodă mai veche folosită (și utilizată) de oamenii de știință: pentru a studia matematica și știința, trebuie să lucrați cu procesul natural al creierului.
Ultimul val de reforme educaționale în matematică se referă la programa școlară obligatorie: este o încercare de a stabili standarde puternice și uniforme în toată America, deși criticii subliniază că standardele nu rezistă comparării cu cele mai performante țări. Cel puțin superficial, standardele oferă o perspectivă rezonabilă. Aceștia presupun că în matematică, elevii ar trebui să aibă cunoștințe conceptuale egale, fluență în rezolvarea problemelor și abilitatea de a le aplica.
Bineînțeles, captura constă în realizarea lucrurilor. În climatul educațional actual, memorarea și repetarea în disciplinele STEM (versus studierea limbii sau a muzicii) sunt adesea privite ca o pierdere de timp degradantă atât de către elevi, cât și de către profesori. Mulți profesori au fost mult timp învățați că cunoașterea conceptuală este cheia în disciplinele STEM. Într-adevăr, este mai ușor pentru profesori să angajeze elevii într-o discuție despre un subiect de matematică (și, dacă este realizat corect, dezvoltă o mai bună înțelegere) decât este obositor să evalueze temele făcute. Implicația este că fluența abilităților și capacitatea de a le aplica trebuie să se dezvolte în egală măsură cu cunoștințele conceptuale, iar acest lucru nu se întâmplă foarte des. Diseminarea cunoștințelor conceptuale domnește suprem, mai ales în timpurile prețioase ale clasei.
Video promotional:
Dificultatea de a se concentra asupra înțelegerii este că, la orele de matematică și știință, elevii pot înțelege adesea un punct important, dar aceste cunoștințe pot scăpa rapid fără a fi stabilite în practică și repetare. Pentru a înrăutăți lucrurile, elevii cred adesea că înțeleg ceva când, de fapt, nu înțeleg. Subliniind importanța înțelegerii, profesorii își pot împinge, fără să vrea, elevii spre eșec, în timp ce copiii se complac în iluzia cunoașterii. După cum mi-a spus recent un student la inginerie (nereușind la un examen): „Pur și simplu nu înțeleg cum aș putea obține un rezultat atât de prost. Am înțeles totul când ai explicat în clasă . Elevul meu s-ar fi putut gândi că a înțeles subiectul atunci și poate că a făcut-o, dar nu a pus niciodată aceste cunoștințe în practică pentru a le învăța cu adevărat. Nu a dezvoltat nicio abilitate de decizie sau abilitatea de a aplica ceea ce crede că a înțeles deja.
Există o relație interesantă între studierea matematicii și a științei și stăpânirea unui sport. Când înveți să lovești cu un club de golf, perfecționezi această mișcare prin repetarea constantă pe parcursul mai multor ani. Corpul tău știe ce să faci atunci când te gândești la asta (întregul bloc), în loc să-ți amintești toți pașii dificili pe care îi ia pentru a lovi mingea.
În același mod, odată ce înțelegeți ceva despre matematică și știință, nu trebuie să vi-l explicați în mod constant de fiecare dată când întâlniți un subiect. Nu trebuie să purtați 25 de bile cu voi, așezând în mod constant rânduri de cinci bucăți pentru a înțelege că 5 × 5 = 25. La un moment dat, o cunoașteți doar pe de rost. Vă amintiți ideea că trebuie doar să adăugați exponenții (numere mici scrise deasupra), atunci când înmulțiți același număr în grade diferite (104 × 105 = 109). Dacă faceți această procedură frecvent, rezolvând multe tipuri diferite de probleme, veți descoperi că aveți o înțelegere foarte bună atât a motivelor, cât și a acțiunilor din spatele procedurilor. Înțelegerea este extinsă prin faptul că creierul tău a construit scheme de semnificație. Concentrarea constantă pe înțelegerea în sine este de fapt o piedică.
Am învățat toate acestea despre matematică și procesul de învățare nu în sălile de clasă K-12, ci pe propria experiență, în copilărie, crescând citind pe Madeleine Langle și Dostoievski, care au studiat limba la una dintre cele mai importante universități lingvistice din lume și apoi s-au transformat brusc într-un profesor de inginerie.
În tinerețe, cu talent pentru limbi străine și fără suficienți bani sau abilități, nu-mi permiteam să merg la facultate (împrumuturile de la facultate nu erau în discuție atunci). Deci, de la liceu, am mers direct la armată. Îmi plăcea să studiez limbi străine în liceu, iar armata mi se părea un loc în care oamenii erau plătiți bani pentru a învăța limbi străine, chiar dacă studiau la prestigiosul Institut Militar de Limbi Străine, un loc în care învățarea limbilor străine a devenit o știință. Am ales limba rusă pentru că era foarte diferită de engleză, dar nu a fost atât de dificil încât a trebuit să o studiez de vârste și să învăț să o vorbesc la nivelul unui copil de patru ani. În plus, Cortina de fier a făcut semn cu misterul său: brusc voi putea să-mi folosesc cunoștințele despre limba rusă și să privesc,ce se află în spatele ei?
După ce am servit în armată, am început să traduc pentru rușii care lucrau la traule sovietice în Marea Bering. Munca pentru ruși a fost amuzantă și interesantă, plus că a fost un lucru ușor plin de farmec pentru migranți. Mergi la mare în timpul sezonului de pescuit, câștigi bani decenți, te bei în mod constant pe parcurs, apoi te întorci în port la sfârșitul sezonului și speri că vei fi chemat înapoi la muncă anul viitor. Pentru o persoană care vorbea rusește, nu exista decât o singură alternativă la angajare - să lucrez pentru Agenția Națională de Securitate (prietenii mei din armată mi-au sugerat în mod constant această opțiune, dar nu era pentru mine).
Am început să înțeleg că cunoașterea unei limbi străine în sine este o afacere utilă, dar cu un potențial și un număr limitat de oportunități. Nimeni nu mi-a tăiat telefonul, nimeni nu avea nevoie de cunoștințele mele despre declinările în limba rusă. Cu excepția cazului în care aveam de gând să mă obișnuiesc cu rău de mare și ocazional malnutriție la traulerele fetide din mijlocul Mării Bering. Tot timpul mi-am amintit de inginerii care au studiat la West Point, cu care am lucrat în armată. Abordarea lor matematică și științifică în rezolvarea problemelor a fost evident utilă în lumea reală, mult mai utilă decât ne-ar fi permis să-mi imaginez nefericirile mele cu matematica din tinerețe.
Astfel, la vârsta de 26 de ani, părăsind armata și în căutarea de noi oportunități, mi-am dat seama: dacă vreau cu adevărat să încerc ceva nou, de ce să nu încep cu ce mi-ar putea deschide o lume întreagă de perspective noi? Ceva de genul ingineriei? Aceasta însemna că aș încerca să învăț o limbă complet diferită - limba de calcul.
Cu slaba mea înțelegere a celor mai simple matematici, eforturile mele post-armate au început cu lecții de restaurare în algebră și trigonometrie. Aceasta a fost cu mult sub nivelul zero al majorității studenților. Uneori, încercarea de a-mi reprograma creierul mi s-a părut o întreprindere ridicolă, mai ales când m-am uitat la fețele tinere ale colegilor mei mai tineri și mi-am dat seama că își abandonaseră deja orele dificile de matematică și științe ale naturii și am decis să merg direct să-i întâlnesc. Dar, în cazul meu, în experiența mea de a stăpâni limba rusă ca adult, am bănuit (sau pur și simplu am sperat) că va exista ceva în aspectele învățării unei limbi străine pe care să îl pot folosi atunci când stăpânesc matematica și știința.
Când învățam limba rusă, m-am concentrat nu numai pe înțelegerea limbii, ci și pe fluența ei. Utilizarea gratuită a întregului sistem (în acest caz, limbajul) necesită o cunoaștere strânsă, care se realizează exclusiv prin interacțiunea repetată și variată cu elementele sale. Acolo unde colegii mei s-au mulțumit cu o înțelegere simplă a rusei vorbite sau scrise, am încercat să dezvolt o conexiune profundă interioară cu cuvintele și structura limbii. Nu m-am mulțumit să cunosc doar semnificația cuvântului „înțelege”. Am folosit verbul în practică: l-am conjugat constant în diferite timpuri, l-am folosit în propoziții și, în cele din urmă, am înțeles nu numai când să folosesc această formă a verbului, ci și când să nu o fac. M-am antrenat cu provocarea de a aminti rapid toate aceste aspecte și variații. Dacă nu vorbești fluent limba și cineva vorbește repede la tine, așa cum se întâmplă în conversația normală (care sună întotdeauna foarte repede când înveți o limbă străină), nu ai idee despre ce vorbești. de fapt se spune, deși din punct de vedere tehnic înțelegeți fiecare cuvânt individual și structura frazelor. Desigur, tu nu poți vorbi suficient de repede pentru ca vorbitorii nativi să se bucure de ascultarea ta.
Cu această abordare (concentrându-mă pe fluență în loc doar de înțelegere), am trecut în fața tuturor celor din clasă. Nu mi-am dat seama atunci, dar această abordare a învățării limbilor străine mi-a oferit o înțelegere intuitivă a bazei fundamentale ale învățării și a competenței dezvoltate - formarea blocurilor.
Formarea blocurilor a fost inițial dezvoltată într-o lucrare revoluționară de Herbert Simon, unde a analizat șahul: blocurile au fost văzute ca diferiți echivalenți neuronali ai diferitelor scheme de șah. Treptat, neurologii și-au dat seama că specialiști precum marii maeștri de șah au realizat acest lucru stocând mii de blocuri de cunoștințe despre domeniul lor de expertiză în memoria pe termen lung. Marii maeștri, de exemplu, își pot aminti zeci de mii de modele diferite de șah. Indiferent de disciplină, cunoscătorii pot trezi în conștiința lor una sau mai multe bine sudate, asamblate într-un bloc de subrutine neuronale, cu ajutorul cărora analizează și reacționează atunci când se confruntă cu nevoia de a învăța lucruri noi. Nivelul de înțelegere adevărată, capacitatea de a o folosi în situații noi apare doar cu acea claritate, nivel de cunoaștere,care poate oferi doar repetare, memorare și practică.
În timp ce studiile efectuate în rândul jucătorilor de șah, medicii de ambulanță și piloții de luptă au arătat, în momentele cu cel mai mare stres, o procesare rapidă subconștientă vine să înlocuiască analiza conștientă a situației, deoarece toți acești specialiști dezvoltă un sistem de subrutine neuronale, blocuri, la un nivel profund. Într-un anumit moment, o „înțelegere” conștientă a motivului pentru care faceți această acțiune servește doar ca un obstacol și are ca rezultat nu cele mai reușite decizii. Când am înțeles intuitiv că există o legătură între învățarea unei limbi străine și învățarea matematicii, am avut dreptate. Stăpânirea practică zilnică pe termen lung a rusei mi-a încărcat și întărit conexiunile neuronale și am început treptat să fac legătura între blocurile de cunoaștere a limbii care ar putea fi ușor folosite acum. Organizându-vă învățarea în „straturi” (cu alte cuvinte,practicând în așa fel încât nu știam doar când să folosesc cuvântul, ci și când să nu, sau preferabil o versiune diferită a acestuia), foloseam de fapt aceeași abordare pe care o iau practicienii în matematică și știință. În timp ce studiam matematica și ingineria ca adult, am început să folosesc aceeași strategie pe care am folosit-o pentru a studia o limbă străină. M-am uitat la egalitate, pentru a lua cel mai elementar exemplu, a doua lege a lui Newton f = ma. M-am antrenat să înțeleg ce înseamnă fiecare literă: f - gravitație - înseamnă presiune, m - masă corporală - pun un fel de rezistență asupra presiunii mele și a - un sentiment revigorant de accelerație. (Echivalentul în învățarea limbii ruse a fost să spună cu voce tare literele alfabetului rus). Am memorat egalitatea, astfel încât să se stabilească în memoria mea,și aș putea să mă joc cu el. Dacă m și a erau numere mari, cum a afectat acest lucru f când le-am conectat la formulă? Dacă f era mare și a era mic, cum a afectat acest lucru m? Cum s-au potrivit părțile egalității? Jocul cu egalitatea a fost ca conjugarea verbelor. Începusem să înțeleg intuitiv că contururile estompate ale egalității erau ca o poezie saturată de metafore, în care sunt ascunse multe imagini simbolice frumoase. Deși în acel moment nu aș numi așa, în adevăr, pentru a stăpâni bine matematica și știința, a trebuit să construiesc încet, zi de zi, rutine puternice de „bloc” neuronal (ca cele pe care le-am făcut cu formula f = ma), astfel încât să pot folosi cu ușurință informații din memoria pe termen lung, așa cum am făcut cu limba rusă. Dacă m și a erau numere mari, cum a afectat acest lucru f când le-am conectat la formulă? Dacă f era mare și a era mic, cum a afectat acest lucru m? Cum s-au potrivit părțile egalității? Jocul cu egalitatea a fost ca conjugarea verbelor. Începusem să înțeleg intuitiv că contururile neclare ale egalității erau ca o poezie saturată de metafore, în care sunt ascunse multe imagini simbolice frumoase. Deși în acel moment nu aș numi așa, în adevăr, pentru a stăpâni bine matematica și științele naturii, trebuia să construiesc încet, zi de zi, rutine puternice de „bloc” neuronal (ca cele pe care le-am făcut cu formula f = ma), astfel încât să pot folosi cu ușurință informații din memoria pe termen lung, așa cum am făcut cu limba rusă. Dacă m și a erau numere mari, cum a afectat acest lucru f când le-am conectat la formulă? Dacă f era mare și a era mic, cum a afectat acest lucru m? Cum s-au potrivit părțile egalității? Jocul cu egalitatea a fost ca conjugarea verbelor. Începusem să înțeleg intuitiv că contururile neclare ale egalității erau ca o poezie saturată de metafore, în care sunt ascunse multe imagini simbolice frumoase. Deși în acel moment nu aș numi așa, în adevăr, pentru a stăpâni bine matematica și știința, trebuia să construiesc încet, zi de zi, rutine puternice de „blocare” neuronală (ca cele pe care le-am făcut cu formula f = ma), astfel încât să pot folosi cu ușurință informații din memoria pe termen lung, așa cum am făcut cu limba rusă.când i-am înlocuit în formulă? Dacă f era mare și a era mic, cum a afectat acest lucru m? Cum s-au potrivit părțile egalității? Jocul cu egalitatea a fost ca conjugarea verbelor. Începusem să înțeleg intuitiv că contururile neclare ale egalității erau ca o poezie saturată de metafore, în care sunt ascunse multe imagini simbolice frumoase. Deși în acel moment nu aș numi așa, de fapt, pentru a stăpâni bine matematica și știința, trebuia să construiesc încet, zi de zi, rutine puternice de „blocare” neuronală (precum cele pe care le-am făcut cu formula f = ma), astfel încât să pot folosi cu ușurință informații din memoria pe termen lung, așa cum am făcut cu limba rusă.când i-am înlocuit în formulă? Dacă f era mare și a era mic, cum a afectat acest lucru m? Cum s-au potrivit părțile egalității? Jocul cu egalitatea a fost ca conjugarea verbelor. Începusem să înțeleg intuitiv că contururile neclare ale egalității erau ca o poezie saturată de metafore, în care sunt ascunse multe imagini simbolice frumoase. Deși în acel moment nu aș numi așa, în adevăr, pentru a stăpâni bine matematica și știința, trebuia să construiesc încet, zi de zi, rutine puternice de „blocare” neuronală (precum cele pe care le-am făcut cu formula f = ma), astfel încât să pot folosi cu ușurință informații din memoria pe termen lung, așa cum am făcut cu limba rusă.cum m-a afectat asta? Cum s-au potrivit părțile egalității? Jocul cu egalitatea a fost ca conjugarea verbelor. Începusem să înțeleg intuitiv că contururile estompate ale egalității erau ca o poezie saturată de metafore, în care sunt ascunse multe imagini simbolice frumoase. Deși în acel moment nu aș numi așa, de fapt, pentru a stăpâni bine matematica și știința, trebuia să construiesc încet, zi de zi, rutine puternice de „blocare” neuronală (precum cele pe care le-am făcut cu formula f = ma), astfel încât să pot folosi cu ușurință informații din memoria pe termen lung, așa cum am făcut cu limba rusă.cum m-a afectat asta? Cum s-au potrivit părțile egalității? Jocul cu egalitatea a fost ca conjugarea verbelor. Începusem să înțeleg intuitiv că contururile estompate ale egalității erau ca o poezie saturată de metafore, în care sunt ascunse multe imagini simbolice frumoase. Deși în acel moment nu aș numi așa, de fapt, pentru a stăpâni bine matematica și știința, trebuia să construiesc încet, zi de zi, rutine puternice de „blocare” neuronală (precum cele pe care le-am făcut cu formula f = ma), astfel încât să pot folosi cu ușurință informații din memoria pe termen lung, așa cum am făcut cu limba rusă.în care sunt ascunse multe imagini simbolice frumoase. Deși în acel moment nu aș numi așa, în adevăr, pentru a stăpâni bine matematica și știința, a trebuit să construiesc încet, zi de zi, rutine puternice de „bloc” neuronal (ca cele pe care le-am făcut cu formula f = ma), astfel încât să pot folosi cu ușurință informații din memoria pe termen lung, așa cum am făcut cu limba rusă.în care sunt ascunse multe imagini simbolice frumoase. Deși în acel moment nu aș numi așa, în adevăr, pentru a stăpâni bine matematica și știința, a trebuit să construiesc încet, zi de zi, rutine puternice de „bloc” neuronal (ca cele pe care le-am făcut cu formula f = ma), astfel încât să pot folosi cu ușurință informații din memoria pe termen lung, așa cum am făcut cu limba rusă.la fel cum am făcut cu limba rusă.la fel cum am făcut cu limba rusă.
Uneori, profesorii de matematică și științe mi-au spus că elementele de construcție a informațiilor adânc încorporate în minte au constituit fundamentul absolut al succesului lor. Înțelegerea nu creează fluență în cunoaștere; dimpotrivă, fluența construiește înțelegerea. De fapt, cred că adevărata înțelegere a unui subiect complex apare numai în condițiile liberei stăpâniri a acestuia.
Cu alte cuvinte, în predarea științelor naturii și a matematicii, este ușor să treceți la metode de predare, unde accentul este pus pe înțelegere, iar repetarea și practica de rutină, care servesc ca bază a cursivității subiectului, sunt evitate. Am învățat limba rusă nu numai pentru că am înțeles-o - la urma urmei, înțelegerea nu este o sarcină atât de dificilă, dar poate aluneca cu ușurință de tine. (Ce înseamnă cuvântul rusesc „a înțelege”?) Am învățat limba rusă, căutând fluența prin practică, repetare și înghesuire, doar acel tip de înghesuire care a stimulat capacitatea de a gândi flexibil și rapid. Am învățat matematica și știința folosind exact aceleași principii. Limbajul, matematica, științele naturii, ca aproape toate domeniile cunoașterii umane, folosesc aceleași mecanisme ale creierului.
Când am izbucnit într-o viață nouă, devenind inginer electric și apoi profesor de inginerie, am părăsit limba rusă în trecut. Dar la 25 de ani de la ultima dată când am băut pe un trauler sovietic, familia mea și cu mine am decis să conducem prin toată Rusia pe calea ferată transsiberiană. În ciuda faptului că așteptam cu nerăbdare această călătorie, la care visam de mult, eram îngrijorat. De-a lungul anilor, cu greu am rostit măcar un cuvânt în rusă. Dacă l-am uitat complet? Ce mi-au oferit toți acești ani de stăpânire a limbii?
Desigur, când ne-am urcat prima dată în tren, vorbeam rusește ca un copil de doi ani. Am căutat frenetic cuvinte, am făcut o greșeală în declin și conjugare, fosta mea pronunție aproape perfectă s-a transformat într-un accent teribil. Dar au fost puse bazele și, de la o zi la alta, rusa mea a devenit din ce în ce mai bună. Dar chiar și cu un nivel de bază, am reușit să fac față sarcinilor zilnice în timpul călătoriei noastre. Curând, ghizii au început să se apropie de mine, astfel încât să-i pot ajuta să-i traduc pentru alți pasageri. În cele din urmă am ajuns la Moscova și am urcat într-un taxi. Șoferul, după cum mi-am dat seama curând, urma să ne jefuiască ca un om lipicios - ne-a condus exact în direcția opusă, prin blocaje de trafic, așteptându-se că străinii, care nu înțeleg nimic, vor plăti tacit o oră suplimentară la tarif. Dintr-o dată, cuvintele rusești mi-au scăpat,pe care nu le-am vorbit de zeci de ani. Nici nu mi-am dat seama că le știu.
Undeva adânc în mintea mea, fluența mea în limbă a rămas și a ieșit la momentul potrivit: ne-a scos rapid din necazuri (și a ajutat la găsirea unui alt taxi). Fluența permite înțelegerea să devină parte a conștiinței și apare atunci când aveți nevoie de ea.
Când văd astăzi cât de mult există o lipsă de specialiști în științele naturii și matematică în țara noastră, observ tendințele moderne în pedagogie, reflectând asupra propriului drum, asupra cunoștințelor pe care le-am dobândit despre abilitățile creierului nostru, înțeleg că am putea realiza mult mai mult. Ca părinți și profesori, putem folosi metode simple și accesibile pentru a ne aprofunda înțelegerea, făcându-l util și flexibil. Putem împinge alți oameni și pe noi înșine să studiem noi discipline care ni s-au părut prea dificile - matematică, dans, fizică, limbaj, chimie, muzică - deschizând astfel lumi complet noi pentru noi și pentru ceilalți.
După cum am înțeles pentru mine, a avea o cunoaștere fundamentală, profund înrădăcinată, liberă a matematicii (și nu doar „înțelegerea”) este baza tuturor. Deschide uși către multe specialități interesante. Privind în urmă, înțeleg că nu ar fi trebuit să-mi urmez orbește înclinațiile și interesele. Partea din mine care iubea „în mod liber” literatura și limbile era aceeași care mă făcea să iubesc matematica și știința ca urmare, mi-a schimbat și îmbogățit viața.
